EL PRINCIPIO DE RAZÓN SUFICIENTE Y KURT GÖDEL

 Siguiendo con la temática del anterior post, ofrecemos este otro para la misma sección de Pensamiento del blog Ancile, esta vez bajo el título: El principio de razón suficiente y Kurt Gödel.

EL PRINCIPIO DE RAZÓN SUFICIENTE

Y KURT GÖDEL

No deja de sorprenderme que la curiosidad sea el principio, al menos en mi caso, de cualquier iniciativa de pensamiento, de ciencia o de arte creativos. Porque, sí, creo firmemente que la creatividad es fundamental en el desarrollo del pensamiento y de la misma ciencia, aunque resulte obvio en el ejercicio artístico. 

Las matemáticas siempre me fascinaron. No sólo por lo que en ellas vi, para estupefacción de muchos, en la poesía. Siempre me pregunté de dónde venían sus extraordinarios formalismos y abstracciones, y cómo era posible su existencia, y aún más, casando con descripciones de la realidad física de manera apriorística, antes de la misma demostración empírica de su funcionamiento, cuestión que me hacía pensar que las descripciones formales matemáticas parecían formar parte del tejido mismo de la realidad. Por eso pensé en muchas ocasiones que más allá de ella (de la matemática) solo queda la nada.

Cualquier principio de razón suficiente que explique por qué hay algo en lugar de nada, debe encontrar instrucción y explanación en sí mismo o en otra cosa (dixit); ¿dónde reside ese principio en matemáticas? Para Hilbert esta era una cuestión de enorme interés que pretendía cerrar de manera total estableciendo las matemáticas como un sistema constituido de manera completa y coherente.

Pero mi curiosidad por las matemáticas y la lógica creció exponencialmente cuando un jovencísimo Kurt Gödel ponía en cuestión la proposición del gigante de Königsberg: Si las matemáticas son coherentes, se pueden construir proposiciones matemáticas que son completamente verdaderas pero indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas. (Gödel, 7 de octubre de 1930). La conclusión era arrolladora, y terrible: todo el sistema lógico supuestamente coherente de las matemáticas queda incompleto (teorema de la incompletitud). Pero, ¿cuáles serían las consecuencias reales para el sistema formal de las matemáticas? La verdad es que tardó bastante en digerirse semejante golpe, no sólo para la lógica y la misma matemática, también las derivaciones en el ámbito de la filosofía matemática y la filosofía en general.

Mi fascinación por las abstracciones lógico-matemáticas fue total cuando empecé a reflexionar al respecto y entender que el reducto impresionante de las matemáticas verdaderas, no podrían demostrarse, si realmente lo eran. El instrumento autoreferencial que utiliza Gödel es en verdad sorprendente en su extraordinaria sencillez, y su conclusión, para muchos durante mucho tiempo, inadmisible: la verdad matemática es mucho más vasta que cualquier noción de demostrabilidad*. La inmensa potencia de verdad de la propia matemática radica en sus propias limitaciones, que se traducen en la imposibilidad de demostración. Extraña, pero muy sugerente paradoja. Y es que ella encierra la grandeza de los procesos de abstracción profunda.

De las consecuencias finales de esta aproximación lógica hablaremos en la próxima entrada de este blog Ancile, que de seguro no dejará indiferentes a propios y extraños a este ámbito fundamental del conocimiento, consecuencias que traerían de nuevo a la palestra las concepciones platónicas del número.

Francisco Acuyo

  *Existe un sistema S coherente que nos dice que 3+3=7, manifiesta una proposición claramente falsa, por lo que hay que construir proposiciones verdaderas, y Gödel crea una proposición (que se denominan G), y que dice de ella misma (autoreferencialmente) no existe demostración G que pertenezca a dicho sistema G. Ya demostraría que el sistema S, si era coherente, si se pude construir a partir de él una proposición que dice que no existe demostración de ella misma en el sistema considerado, es que en verdad no existe, sino el sistema S sería del todo incoherente.