Nota Biobibliográfica.
Carlos Rodríguez Ipiéns (23 Noviembre de 1952, Málaga). Catedrático de Matemáticas y Profesor Asociado en el Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Málaga. Amante (Siempre aprendiz) de la Literatura (Poesía), y el Arte en todas sus manifestaciones. Amante también de las Ciencias y de su historia en general y matemático en la rama de puras, de profesión. Defensor activo de la indisoluble relación entre el mundo de las ciencias y las humanidades. Y siempre amante concienciado de África y los mares en general. Bibliografía: “Analisis vectorial y ecuaciones diferenciales”, Ágora Universidad. UMA. (1996) Coautor con Manuel Laza Zerón del Poemario “Leda Tristura” (1996): Edición Imprenta Montes, Carminidades”, Artículos en la revista de Ciencias Spin Cero (Junta de Andalucía). “El área y la Integral”. “Caos y Fractura”. “La estupidez y el Caos”. Otros artículos, conferencias y poemarios no editados.
CAOS Y FRACTURA
«...mientras que las máquinas se encuentran
inquietantemente vivas, el ser humano
permanece preocupantemente inerte..."
D. Haraway
Aleatoriedad
y azar.
Hasta hace muy poco tiempo, se hacía uso del
término CAOS para designar la aleatoriedad. Sin embargo, ya en 1903, el matemático francés
Henri Poincaré (1854-1912), postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes
términos: "El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre",
reconociendo a la vez la existencia de innumerables fenómenos que no eran
completamente aleatorios --que simplemente no respondían a una dinámica lineal--, aquellos a
los que pequeños cambios en las condiciones
iniciales conducían a enormes cambios en el resultado. Se establece así lo que
más tarde Edward N. Lorenz llamará "dependencia sensible".
Podemos considerar esta observación de Henri
Poincaré como el embrión de un nuevo paradigma
científico: la creación de una nueva Ciencia como reconoce James Gleick en el título de uno de los libros iniciáticos de
la teoría y más ilustrativo: "Caos la creación de una ciencia".
De este modo, podemos anunciar esta Teoría como el
primer intento desde la Ciencia Oficial en la búsqueda de las leyes que
gobiernan los innumerables fenómenos tan desconocidos en su dinámica y tan
naturales y cotidianos a la vez --el clima, el movimiento de las nubes, el aire
que se desplaza sobre el ala de un avión, la sangre cuando fluye a través del
corazón y todo su sistema dinámico (el infarto como la transición de un estado
de regularidad a un estado caótico), las turbulencias en general, las
formaciones geológicas, la manera en que las flores silvestres aparecen en un
campo, la bandera que ondea, el humo de un cigarrillo, el movimiento de una
hoja al caer, las epidemias, los conflictos bélicos, los atascos de tráfico, elcomportamiento de la bolsa...-- que no son susceptibles de control con las
herramientas calculistas de las que nos provee la Matemática y la Física
actual.
La Ciencia ha tenido tendencia a confundir --no se
sabe si por ignorancia como nos adelantaba H. Poincaré-- el contenido
determinista o de azar asociado a un fenómeno atendiendo a su predicibilidad o
no. Así, una gran cantidad de fenómenos --generalmente naturales-- no
predecibles se incorporaban sutilmente al mundo de lo azaroso, quedando así
aparcados sin ser sometidos a tratamiento alguno.
¿Son los fenómenos enunciados anteriormente
fenómenos de azar?. La respuesta es no. Así, los fenómenos de azar (completamente de azar)
--lanzar un dado legal-- no son deterministas, pues no podemos predecir de
antemano su resultado, pero ésta no es una condición suficiente para que un
fenómeno pueda ser considerado como completamente azaroso, es decir, existen fenómenos
de los que no podemos predecir su comportamiento y no son de azar. Es ésta una
primera característica, según Edward N. Lorenz, de los fenómenos caóticos.
Así, Lorenz utiliza el término CAOS para referirse
a un conjunto de procesos o fenómenos que "parecen" comportarse de
acuerdo con el azar aunque, de hecho, su desarrollo esté determinado por leyes
bien precisas.
Dependencia
Sensible
"Por perder un clavo, el caballo perdió la
herradura, el jinete perdió al caballo, el jinete no combatió, la batalla se
perdió, y con ella perdimos el reino." "El aleteo de una mariposa en
Pekín puede provocar un tornado en Texas." La pérdida de un reino y el
efecto mariposa no son más que típicos ejemplos de cómo lo "pequeño"
puede provocar (originar) lo "grande". Siguiendo en términos de una exposición no
rigurosa, hablemos de los sistemas dinámicos. Un Sistema Dinámico podemos considerarlo como una
colección de partes que interactúan entre sí y se modifican unas a otras a
través del tiempo.
El movimiento regular de los objetos, planetas en
órbita, péndulos, resortes, bolas que ruedan..., son fenómenos que se sitúan en
lo que llamamos una dinámica lineal, sus comportamientos se describen mediante
ecuaciones lineales y las Matemáticas resuelven este tipo de ecuaciones
fácilmente. Un Sistema Dinámico decimos que es lineal, cuando pequeños cambios
en las condiciones iniciales del sistema no originan grandes cambios en el
proceso y resultado final del mismo.
Cuando, por el contrario, la dependencia
interactiva entre las partes que configuran el sistema es muy sensible
--pequeñas variaciones en las condiciones iniciales provocan cambios
substanciales en el resultado final (efecto mariposa)-- decimos que la dinámica
que rige el sistema es no lineal, o que el sistema está sujeto a una dinámica
caótica.
Una consecuencia inmediata de la dependencia
sensible en cualquier sistema es la imposibilidad de realizar predicciones
perfectas, ni siquiera mediocres.
Es esta dependencia sensible otra característica
que incorporar en la descripción de los fenómenos caóticos; así, podemos decir
que un fenómeno es caótico cuando, pareciendo comportarse como un fenómeno de
azar, no lo es, las partes que los conforman sufren dependencia sensible o son
sensiblemente dependientes.
Fractalidad
y Atractores Extraños
Será la Fractalidad, como vemos enseguida, otra
cualidad inherente a los procesos caóticos. Desde los comienzos de la creación de la ciencia en
Grecia, como cuerpo de doctrina que pretenderá explicar el ser y el
comportamiento de nuestro universo, la cultura occidental se ha visto
prisionera de la Geometría Euclídea para la explicación de los fenómenos que
acaecen, acarreando con ello una cultura heredada de la idea de que los puntos,
las líneas, los círculos, los cubos..., son de alguna manera "más
naturales" que la propia naturaleza. El mundo platónico, el mundo de las
ideas, era el universo en donde estas formas euclídeas, formas perfectas,
permanecieran como ideales. Para el mismo Platón, el universo de lo humano se
caracterizaba precisamente por lo contrario, la imperfección; el universo
humano era una imagen imperfecta del universo utópico basado en las formas de
la geometría que Euclides postulaba.
Es de esta manera como hasta nuestros días la
cultura y la forma de hacer del hombre siguen intentando presas de la idea
platónica y siguen intentando cambiar lo que la naturaleza nos da en sus formas
por otras "ideales"; así, el hombre es arquitecto de formas
generalmente cúbicas, las ruedas han de ser redondas, los jardines
rectangulares o a lo más circulares... Puede que sea esta cultura euclídea de
nuestro universo lo que nos lleve a la destrucción de las formas naturales,
fomentando el impulso por la creación de ciudades cada
Lo cáustico de esta situación es el uso de la Geometría
Euclídea para modelar la naturaleza, de manera que, cuando el modelo no se
ajusta a ser explicado con dicha geometría, la ciencia oficial pone en
entredicho a la propia naturaleza en vez de a la geometría que utiliza.
Puede decirse que es Benôit Mandelbrot el creador
de la geometría fractal, también conocida como geometría de la naturaleza.
Después de un periplo profesional bastante largo y variado, Mandelbrot ingresa
en la Êcole Normale (París), en el periodo "histórico" en el que nace
y se desarrolla en Francia y se exporta a las matemáticas de todo el mundo el
fenómeno "Bourbaki". Su dominio en la Êcole Normale fue tan absoluto,
e insoportable para Mandelbrot, que huyó de aquella escuela y, diez años después,
por la misma razón, de Francia.
Mandelbrot, con su huida, nos suministra una
herramienta imprescindible para el estudio del Caos, el objeto fractal, la
dimensión fractal, la fractalidad.
Una meta inicial de la nueva geometría fractal es
la de descubrir, desde fuera, la forma de diversos objetos, para posteriormente
estudiar una de las características principales de cualquier objeto fractal, su
dimensión, que no será más que un índice del grado de irregularidad e
interrupción que posee. Así, al contrario de las dimensiones habituales (enteras)
a las que nos tiene sometidos la Geometría Euclídea, la dimensión de un objeto puede
ser muy bien una fracción simple como 1/2 o 5/3 e incluso un número irracional.
No obstante, existen objetos fractales, irregulares o interrumpidos, que
satisfacen dimensiones enteras 1, 2 y sin embargo no se parecen en nada ni a
rectas ni a planos. El término "fractal" nace del adjetivo latino
"fractus", que significa interrumpido o irregular.
La geometría elemental no enseña que un punto
aislado o un número finito de puntos, constituyen una figura de dimensión 0:
que una recta, así como cualquier curva estándar, constituyen figuras de
dimensión 1; que un plano o cualquier superficie ordinaria, son figuras de
dimensión 2; que un cubo, o una esfera, posee dimensión 3. En la nueva
geometría fractal, existen curvas planas muy irregulares para las que su dimensión
se encontrará entre 1 y 2, podrá hablarse también en esta geometría de ciertas superficies
muy hojaldradas de dimensión intermedia entre 2 y 3, o podremos definir polvos
sobre la recta que generan objetos de dimensión comprendida entre 0 y 1.
Como hemos dicho, la dimensión fractal de un objeto
es la medida de su grado de irregularidad, considerada a todas las escalas, y
puede ser algo mayor que la dimensión geométrica euclídea de un objeto. La
dimensión fractal es afín a lo rápido que la medición estimada del objeto
aumenta según disminuye el tamaño del instrumento de medida. Una dimensión
fractal mayor quiere decir que el fractal es más irregular y que la medición
estimada aumenta con mayor rapidez. Para objetos de la Geometría Euclídea
(líneas, curvas,...) la dimensión del objeto y su dimensión fractal coinciden.
El espacio de Fase nace como una herramienta en la
Física actual, considerado como un espacio hipotético que posee tantas
dimensiones como el número de variables necesarias para especificar un estado
de un sistema dinámico dado. Las coordenadas de un punto en el espacio de Fase
son un conjunto de valores simultáneos de las variables. De esta manera,
cualquier estado del sistema parado durante un instante vendrá representado
como un punto en el espacio de Fase. Cuando el sistema cambia, el punto se moverá
a otra posición del espacio de Fase, y si el sistema se modifica sin tregua de tiempo
(con continuidad), el puntodeterminará una trayectoria a la que denominamos órbita.
Un ejemplo sencillo para ilustrar este concepto de espacio de Fase, lo constituye
un péndulo que oscila sin fricción. Una variable sería la posición y otra la
velocidad; las dos cambian continuamente; podemos considerar como espacio de
Fase un sistema cartesiano en el que cada eje representa a cada una de las
variables. La gráfica que obtendríamos será de una curva más o menos cerrada,
la cual se repite una y otra vez siempre.
Para el caso de que el péndulo esté expuesto a
fricción, no son necesarias las ecuaciones del movimiento para conocer el
resultado final: el péndulo perderá constantemente energía a causa de la
fricción, y las trayectorias (órbitas) que describen los puntos del espacio de
Fase decrecerán en espiral hacia un punto interior, que representa el estado estable,
en este caso, el de la inmovilidad absoluta. Este punto final es el ejemplo de atractor
más sencillo posible; lo podemos imaginar como un imán del tamaño de la cabeza
de un alfiler. Podemos considerar un atractor en un sistema disipativo como un conjunto
límite (puede ser un punto como el de este ejemplo) del cual no emanan órbitas.
Pues bien, la conexión entre la Geometría Fractal y
la caología nace de la siguiente situación: cuando representamos en un espacio
de Fase el estado de un sistema caótico, las órbitas y losatractores asociados
a dicho sistema son objetos de dimensión fractal, este es, son fractales. Son
estos atractores de dimensión fractal los que se denominan atractores extraños.
 |
| Atractor de Lorenz |
Fue E. N. Lorenz quien en 1963 logró computar el
primer atractor extraño, y el primero en descubrir la dimensión fractal de
dicho atractor. Este atractor, llamado de Lorenz (véase figura), se
caracterizaba por ser estable, de pocas dimensiones y no periódico. Así lo
caracteriza J. Gleick, sus órbitas no se cortaban entre sí, sus lazos y
espirales eran infinitamente hondos; jamás de juntaban y jamás se intersecaban.
Sin embargo, permanecían dentro de un espacio finito, confinados en una
casilla. ¿Cómo acontecía aquello? ¿Cómo cabían en un espacio finito innumerables,
infinitas órbitas? Esto es la fractalidad.
Podemos concluir la caracterización de los sistemas
o fenómenos caóticos, por tanto, como aquellos que, aparentando ser fenómenos
de azar, no lo son, presentan una dinámica no lineal (dependencia sensible) y
su comportamiento llevado al espacio de Fases se caracteriza por la existencia
de atractores extraños, atractores de dimensión fractal.
Presentados los sistemas caóticos y, así, la
caología como ciencia que se ocupa de su estudio, podemos, dentro de la
caología, presentar dos enfoques básicos generales. En el primero, el Caos se
considera como precursor y socio del orden y no como su opuesto. Figura central
en esta dirección de investigación del Caos es Ilya Prigogine, Premio Nobel por
su trabajo en termodinámica irreversible. El título del libro del que es
coautor con Isabelle Stengers, Order out of Caos (Orden a partir del Caos)
representa básicamente este enfoque.
El segundo enfoque del que podemos elegir como
representantes a E. N. Lorenz, Mitchell Feigenbaum, Benoit Mandelbrot, Robert
Shaw... destaca el orden oculto que existe dentro de los sistemas caóticos.
El enfoque de los "atractores extraños"
difiere del "orden a partir del Caos" por la atención que presta a
los sistemas que siguen siendo caóticos, esto es, los sistemas que no generan
orden. Mientras Prigogine considera que la línea del orden a partir del caos (línea
filosófica) reside en su capacidad para resolver el problema metafísico de reconciliación
entre el ser y el devenir, los defensores de la línea de los atractores extraños
destacan la capacidad de los sistemas caóticos para generar información. El orden
no sería más que una manifestación del desorden, una anécdota.
De cualquier forma, no podemos dejar pasar cómo
"sutilmente" existe un nexo entre ambas direcciones. La herramienta
indispensable que utilizan ambas para un tratamiento efectivo del Caos y la
Geometría Fractal: el ordenador. Sólo con las nuevas tecnología de la
Computación es posible una investigación positiva en estos campos y en cualquiera
de las líneas de trabajo aludidas anteriormente. El propio Mandelbrot ha señalado
que la Geometría Fractal depende de los ordenadores como ninguna otra geometría
dependió antes de un objeto mecanizado; los ordenadores han permitido practicar
la Matemática como una "ciencia experimental". Así, los fractales
generados por ordenador se desenvuelven en una interacción continua y fluida entre
ser
 |
| Ejemplo de estructura fractal |
Asistimos con el posmodernismo a un proceso de
desnaturalización de todos los contextos que rodean al ser humano y a la vez al
propio ser humano. De este modo, los grandes centros de poder de este planeta
codician el control de la tecnología de la computación, tecnología que será la
herramienta indispensable para controlar lo que ya, no a tan largo plazo, será
nuestro nuevo hábitat: el ciberespacio. Frente a esta realidad tan incierta, la
figura del hombre se hace cada vez más confusa, se encuentra en parte desterrado
en un mundo cada vez más fluctuante y fragmentado.
El individuo se diluye así, bajo el efecto del
byte, mientras que el tratamiento informático lo reduce a la existencia
estadística para constituir un efectivo, un mercado, un público, un electorado,
o simplemente una muestra en un sondeo.
Nos encontramos en el instante de la historia donde
se dibuja un horizonte, en el que la creación y la curiosidad dan paso al
aburrimiento, la educación a la programación de los individuos; un mundo donde
la cultura se atrofia mientras que la ciencia y sus aplicaciones se
hipertrofian en todo caso mucha ciencia y poca conciencia.
¿Qué ocurrirá cuando el ser humano quede
desnaturalizado y considerado una construcción, un artificio, como cualquier
otra cosa? ¿Ese será el momento de la fractura?
Artículo remozado de la Revista de Ciencias "Spin Cero" nº 2.
Bibliografía:
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Barral.
Mandelbrot, B.(1993): Los objetos fractales.
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Prigogine, I. (199): Las leyes del Caos. Crítica
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Prigogine, I. (1988): ¿Tan solo una ilusión? Una
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Prigogine, I. , Stengers Isabelle (1997): La nueva
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Prigogine, I. (1997): ¿Tan sólo una ilusión?, una
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Cohn, N. (1995): El Cosmos, el Caos y el mundo
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Hayles, N. K. (1993): La evolución del caos: El
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Escohotado, A. (1999): Caos y Orden. Ensayo y
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Canetti, E. (1994): Masa y poder, Barcelona,
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